logika

Posted by : Unknown Kamis, 27 Desember 2012

Arti dan Sejarah singkat Logika

“Logika” adalah bahasa latin berasal dari kata ‘logos’ yang berarti perkataan atau sabda, istilah lain yang digunakan sebagai gantinya adalah mantiq, kata arab yang diambil dari kata kerja nataqa yang berarti berkata atau berucap.

Dalam bahasa sehari-hari kita sering mendengar ungkapan serupa: alasanya tidak logis, kabar itu tidak logis. Yang dimaksud dengan logis adalah masuk akal, dan tidak logis adalah sebaliknya.

Dalam buku logic and language of edition, mantiq disebut sebagai “penyelidikan tentang dasar-dasar dan metode-metode berpikir benar, sedangkan dalam kamus munjid disebut sebagai “hokum yang memelihara hati nurani dari kesalahan dalam berpikir”.Prof. Thalib Thahir A. Mu’inmembatasi dengan “ilmu untuk menggerakan pikiran kepada jalan yang lurus dalam memperoleh suatu kebenaran.” Sedangkan Irving M Copi menyatakan:

“logika adalah ilmu yang mempelajari metode dan hokum-hukum yang digunakan untuk membedakan penalaran yang betul dari penalaran yang salah.”

Kata logika rupa-rupanya dipergunakan pertama kali oleh zeno daricitium. Kaum sofis, Socrates dan plato harus dicatat sebagi perintis lahirnya logika. Logika lahir sebagi ilmu atas jasa Aristoteles,Theoprostus dan kaum stoa.

Aristoteles meninggalkan enam buah buku yang oleh murid-muridnya diberi nama Orgadon.buku tersebut adalah Categoriae (mangenai pengertian-pengertian), De Interpretatiae (mengenai keputusan-keputusan), Analitica Priora (tentang silogisme), Analitica Posteriora(mengenai pembuktian), Topika(mengenai berdebat) dan De Sophisticis Elenchis (mangenai kesalahan-kesalahan berfikir). Theoprostusmengembangkan logika aristoteles ini sedangkan kaum stoa mengajukan bentuk-bentuk berfikir yang sistematis.buku-buku inilah yang menjadi dasar logika tradisional.

Pada masa penerjemahan ilmu-ilmu yunani kedalam dunia arab yang dimulai pada abad II hijriah logika merupakan bagian yang amat menarikminat kaum muslimin. Selanjutnya logika dipelajari secara meriah dalam kalangan luas, menimbulkan berbagai pendapat dalam hubungannya dangan masalah agama. Ibnu Salih dan Imam Nawawi menghukumi haram mempelajari mantiq sampai mendalam. Al-Ghazali menganjurkan dan menganggap baik, sedangkan menurut Jumhur ulama membolehkan bagi orang-orang yang cukup akalnya dan kokoh imannya.selanjutnya logika mengalami masa dekadensinya yang panjang.

Penemuan-penemuan baru pada abad XVII dan XVIII ketika francis bacon mengembangkan metode induktif, ia menyusun buku Novum Organum Scientiarum. W. Leibnitz menyusun logika aljabar untuk membikin sederhana pekerjaan akal serta memberi kepastian. Emanuel Kant menemukan logika Transcendental (logika yang menyelidiki bentuk-bentuk pemikiran yang mengatasi batas pengalaman).pada abadXIX logika dipandang sebagai sekedar peristiwa psikologis dan metodis seperti yang di ajarkan oleh W. Wund J. Dewey dan M. Baldwin.

Dasar-dasar Logika

Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi :

2 + 2 = 4
4 adalah bilangan prima
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia
Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta

Penghubung kalimat

Sering kali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang. Misalnya kalimat :4 adalah bilangan gena dan 3 adalah bilangan ganjil merupakan gabungan dari 2 buah kalimat : 4 adalh bilangan genap dan kalimat 3 adalah bilangan ganjil ` didalam logika dikenal 5 buah penghubung :

Simbol Arti Bentuk

1 ~ Tidak / Not / Negasi Tidak .........

2 ^ Dan / And / Konjungsi ….. dan ……

3 v Atau / Or / Disjungsi ….. atau ........

4 → Implikasi Jika ....... maka .......

5 ↔ Bi – implikasi . .....bila dan hanya bila ......

Dalam matematika digunakan huruf – huruf kecil seperti p, q, r, ... untuk menyatakan sub kalimat dan simbol – simbol penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat.

Misalkan :

- p menyatakan kalimat 4 adalah bilangan genap

- q menyatakan kalimat 3 adalah bilangan ganjil

Maka kalimat : 1 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan simbol p ^ q

Jika p dan q merupakan kalimat – kalimat, maka tabel kebenaran penghubung tampak pada tabel ( T = True/benar ; F = False/salah ). Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n variabel ( p, q, ...), maka tabel kebenaran memuat 2ⁿ baris.

P	q	~ p	p ^ q	p v q	p → q	p ↔ q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

Contoh :

Misal k : Monde orang kaya

s : Monde bersuka cita

Tulis bentuk simbolis kalimat berikut ini :

a Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita

b Monde orang kaya atau ia sedih

c Monde tidak kaya ataupun bersuka cita

d Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih

Anggaplah negasi dari kaya adalah miskin dan negasi dari bersuka cita adalah sedih

Penyelesaian :

a Kata penghubung tetapi mempunyai arti yang sama dengan kata penghubung dan sehingga simbolisnya adalah ~ k ^ s

b k v ~ s

c Kalimat tersebut berarti bahwa Monde tidak kaya dan sekaligus Monde tidak bersuka cita. Bentuk simbolisnya ~ k ^ ~ s

d ~ k v (k ^ ~ s)

PROPOSISI

adalah “pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya”. Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.

Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi :

2 + 2 = 4
4 adalah bilangan prima
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia
Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta

Penghubung kalimat

Simbol Arti Bentuk

1 ~ Tidak / Not / Negasi Tidak .........

2 ^ Dan / And / Konjungsi ….. dan ……

3 v Atau / Or / Disjungsi ….. atau ........

4 → Implikasi Jika ....... maka .......

5 ↔ Bi – implikasi . .....bila dan hanya bila ......

Dalam matematika digunakan huruf – huruf kecil seperti p, q, r, ... untuk menyatakan sub kalimat dan simbol – simbol penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat.

Misalkan :

- p menyatakan kalimat 4 adalah bilangan genap

- q menyatakan kalimat 3 adalah bilangan ganjil

Maka kalimat : 1 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan simbol p ^ q

P	q	~ p	p ^ q	p v q	p → q	p ↔ q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

Contoh :

Misal k : Monde orang kaya

s : Monde bersuka cita

Tulis bentuk simbolis kalimat berikut ini :

a Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita

b Monde orang kaya atau ia sedih

c Monde tidak kaya ataupun bersuka cita

d Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih

Anggaplah negasi dari kaya adalah miskin dan negasi dari bersuka cita adalah sedih

Penyelesaian :

a Kata penghubung tetapi mempunyai arti yang sama dengan kata penghubung dan sehingga simbolisnya adalah ~ k ^ s

b k v ~ s

c Kalimat tersebut berarti bahwa Monde tidak kaya dan sekaligus Monde tidak bersuka cita. Bentuk simbolisnya ~ k ^ ~ s

d ~ k v (k ^ ~ s)

Negasi ~p

Pernyataan negasi merupakan pernyataan yang menyangkal pernyataan awal, atau lawan dari pernyataan awal. Untuk membuat tabel kebenaran dari pernyataan negasi, terlebih dahulu kita buat tabel kebenaran untuk nilai kebenaran pernyataan asalnya. Pernyataan asal (p) dapat bernilai salah atau benar. Maka tabel nilai kebenaran dari pernyataan p adalah:

Bila p bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah, karena ~p menyangkal kebenaran di p. Jika p salah, ~p bernilai benar. Tabel kebenaran untuk negasi mendeskripsikan nilai kebenaran yang diberikan oleh ~p. Baris pertama pada tabel kebenaran dibaca "~p salah bila p benar", sedang baris kedua dibaca "~p benar saat p salah."

p	~p
B	S
S	B

Konjungsi p^q

Konjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'dan.' Kalimat majemuk "Burhan seorang dokter dan kader partai golkar" adalah sebuah konjungsi dengan representasi simbol sebagia berikut.

p : Burhan seorang dokter

q : Burhan kader partai demokrat

p^q : Burhan seorang dokter dan kader partai demokrat.

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk bergantung dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusunnya. Berapa banyak baris yang dibutuhkan dalam tabel kebenaran konjungsi p^q? Karena p memiliki dua kemungkinan, demikian pula dengan q, kombinasi kemungkinan-kemungkinan itu ada 4 (2.2).

p	q
B	B
B	S
S	B
S	B

Suatu konjungsi p^q benar bila masing-masing pernyataan-pernyataan yang menyusunnya benar, kombinasi selain itu bernilai salah. Simbol p maupun q dapat merepresentasikan pernyataan apa saja. Pernyataan majemuk p dan q bergantung pada nilai kebenaran masing-masing p dan q. Misalnya konjungsi p^q salah ketika p salah dan q benar. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi p^q selengkapnya.

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

“Bila P benar dan Q benar maka kesimpulannya benar,selain itu salah “

Disjungsi pvq

Disjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'atau'. Pernyataan majemuk "Burhan adalah seorang dokter atau kader partai golkar" merupakan disjungsi (atau inklusif) dengan presentasi simbolisnya:

p : Burhan seorang dokter

q : Burhan kader partai golkar

pvq : Burhan seorang dokter atau kader partai golkar.

Walaupun dalam kenyataan Burhan yang seorang dokter bukan kader partai golkar, disjungsi pvq diatas tetap bernilai benar. Disjungsi bernilai benar bila paling tidak terdapat satu pernyataan penyusunnya yang bernilai benar. Disjungsi salah bila nilai kebenaran setiap penyusunnya salah.

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

“Bila P salah dan Q salah maka kesimpulannya salah,selain itu benar”.

Implikasi p -> q

Implikasi merupakan pernyataan majemuk dalam bentuk 'jika p maka q' yang disimbolkan p -> q. Bagaimanakah kebenaran implikasi? Perhatikan kalimat 'Jika kamu memberi Rp. 20.000,- padaku, akan kubelikan tiket konser untukmu.' Representasi simbolis dari kalimat tersebut adalah sebagai berikut:

p : Kamu memberiku Rp. 20.000,-

q : Aku membelikan tiket konser untukmu.

p -> q : Jika kamu memberiku Rp 20.000,-, Aku akan membelikan tiket konser untukmu.

Implikasi dapat dipandang sebagai sebuah janji. Anggap kamu benar-benar memberiku 20 ribu, maka aku akan mempunyai dua opsi, apakah membelikan atau tidak. Bila aku membelikan (q = B) maka pernyataan tersebut benar. Tetapi bila aku tidak membelikan (q = S) maka kalimat tersebut salah. Situasi ini dapat digambarkan sebagai berikut.

p	q	p->q
B	B	B
B	S	S
S	B	?
S	S	?

Lalu bagaimana bila kamu tak memberiku 20 ribu? p = S? Tentu apakah aku akan memberimu tiket atau tidak, p -> q tidak salah. Karena janji hanya dipenuhi bila p benar. Karena p -> q tidak salah, maka bila p salah secara langsung membuat nilai kebenaran p -> q benar. Tabel implikasi yang lengkap adalah sebagai berikut.

p	q	p->q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

“Bila pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah maka kesimpulannya salah, selain itu benar”.

Biimplikasi
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " ⇔ " atau " ↔ ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p ⇔ q " atau
"p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku

P	Q	PóQ
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p ⇔ q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12

1. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12

2. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

3. 2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12

4. 2 bukan bilangan prime jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

Penyelesaian:

5. Tulis p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12.
Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S).

6. Kalimat bernilai benar (B)

7. Kalimat bernilai salah (S)

8. Kalimat bernilai benar (B)

Tautologi dan Kontradiksi

Dalam logika matematika, tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika.

Contoh tautologi adalah:

p	q	~p	~q	p → q	(p → q) ∧ ~q	[(p → q) ∧ ~q] → ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas, bisa dilihat bahwa apapun nilai kebenaran premis p dan q, pernyataan di atas tetap bernilai benar semua, sehingga digolongkan sebagai tautologi.

Dalam logika matematika, kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Jadi, kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika.

Contohnya adalah:

p	q	~p	~q	p ∧ q	~p ∧~ q	(p ∧ q) ∧ (~p ∧~ q)
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	S	S	S	S
S	S	B	B	S	B	S

Dari tabel di atas, bisa dilihat bahwa apapun nilai kebenaran premis p dan q, pernyataan di atas tetap bernilai salah semua, sehingga digolongkan sebagai kontradiksi.